Fracciones periódicas recíprocas

Si dividimos 10 por 27 obtenemos una fracción periódica pura:

10/27 = 0,370370…

si luego dividimos 10 por el número que expresa el período, o sea por 370, obtenemos otra fracción periódica pura

10/370 = 0,027027…

donde el período es igual al divisor de la primera fracción y con la misma cantidad de cifras que el período de la primera.

Veamos otros pares de números cuyos cocientes sean fracciones periódicas puras, donde se cumple la relación mencionada

1/7= 0,142857…

1/0,142857 = 7,000007…

10/11 = 0,909090…

10/90 = 0,111111…

10/13 = 0,769230…

10/0,769230 = 13,000013…

Mediante un sencillo razonamiento demostraremos que esa reciprocidad se cumple en todos los cocientes que den fracciones periódicas puras. Consideremos un cociente que cumpla esa condición

a/b = c + c/10ⁿ + c/10²ⁿ + c/10³ⁿ … = c + m (1)

donde a y b son 2 números enteros cuyo cociente es una fracción periódica pura, c el primer período, n la cantidad de cifras del período, y m el conjunto de los períodos restantes. Buscaremos el valor del cociente a/c

Hagamos a/c = a/c *b/b = a/b * b/c

Reemplazando a/b por (c+m)

Obtenemos a/c = (c+m) * b/c

Y también a/c = c*b/c +m*b/c

Simplificando a/c = b + m*b/c (3)

Reemplazando m por su valor (1)

a/c = b + (c/10ⁿ + c/10²ⁿ + c/10^3n.... ) *b/c

Multiplicando b/c por cada término y simplificando

a/c = b + b/10ⁿ + b/10²ⁿ +b/10³ⁿ …

Es decir que si el cociente de dos números a y b nos da una fracción periódica pura (c+m), el cociente del dividendo a por el período de dicha fracción c, nos dará otra fracción periódica pura, cuyo período será igual al divisor inicial b, pero con la misma cantidad de cifras decimales n que el período del primer cociente,

Veamos otros ejemplos:

10/22 = 0,454545… 10/0,45 = 0,222222

10/22 = 0,454545… 10/45 = 22,2222

10/22 = 0,454545… 10/0,4545 = 22,002200…

10/26 = 0,384615… 10/0,384615 = 26,000026

10/81 = 0,123456790… 10/0,123456790 = 81,000000081…

25/27 = 0,925925… 25/0,925 = 27,027027…

Siendo indistinto que dividamos, por ejemplo en el primer caso por 0,45 4,5 o 45. Si consideramos en el mismo caso que el período es 4545 con el doble de cifras, el período de la nueva fracción tendrá el doble de cifras.

Finalmente si el divisor tiene 2 o más cifras y el período de la fracción una sola, parecería que la propiedad no se cumple:

10/18 = 0,555555… 10/5 = 2

Pero el número 2 puede descomponerse en una serie igual a

10/5 = 2 =1,8 + 0,18 + 0,018 + 0,0018… que cumple la propiedad.

O bien 10/55 = 0,181818

Mario A. Hertig

hertig@ciudad.com.ar

Mayo de 1996